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Il numero π (pi greco)

INDICE
Premessa
Il calcolo
Giochiamo

Premessa

Tutti conosciamo il numero π, pi greco, il rapporto tra la circonferenza ed il suo diametro, tra il cerchio ed il suo raggio al quadrato, 3,14... insomma.

Ma dietro a quei puntini cosa c'è?

Pochissimi, sicuramente, conoscono la frase inglese che, contando le lettere delle parole che la compongono, consente di ricordare agevolmente le prime 15 cifre di π:

YESINEEDADRINKALCOHOLICOFCOURSEAFTER
314159265
Sì,mioccorreunabevandaalcoolicanaturalmentedopo

THEHEAVYLECTURESINVOLVINGQUANTUMMECHANICS
358979
lepesanticonferenzedimeccanica
quantistica

Meno bella, perché troppo retorica è la frase riportata nel libro di I. Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa, ed Hoepli,

AveoRomaomadregagliardadilatinevirtù
314159265

chetantoluminososplendoreprodigaspargesti
358979

  con    la    tua    saggezza    ...  
3238  ...  

A questo punto, anche se non lo sapevate prima, avete appreso che il numero non si ferma dopo il 14. Esso ha infinite cifre decimali ed è stato dimostrato che non è periodico (quindi è irrazionale) ed è trascendente (non esiste un'equazione a coefficienti interi di cui π sia la soluzione).

È un numero così importante che nel 1897 lo stato dell'Indiana prese in considerazione l'ipotesi di fissarne il valore per legge (l'ipotesi venne poi, per fortuna, scartata, ma i valori proposti andavano da 4 a 3,2).

Su quest'altra pagina, invece, potete trovare qualche altra informazione sul cugino di π, il numero di Nepero e, ma non troverete, almeno per ora, giochi: il numero e non ama tanto la popolarità, è un numero serio e frequenta per lo più ambienti matematici un po' più elevati.

Il calcolo

I matematici, indipendentemente dalle leggi, hanno voluto calcolarlo con una precisione sempre maggiore. Nel 1999 erano note 206 miliardi di cifre e, stando alla pagina su π di Wikipedia, nel 2010 erano ormai 2 milioni di miliardi. Se mai volessimo calcolare il volume dell'universo (supposto sferico) usando come unità di lunghezza il diametro dell'elettrone, potremo calcolarlo con un errore inferiore al volume di un elettrone stesso. Se ne volete sapere di più sulla corsa al calcolo di π vi consiglio il bel libro di Jean Paul Delahaye, L'affascinante numero π, ed. Ghisetti e Corvi.

Se vi accontentate di 1.000.000 di cifre (si fa per dire) potete scaricarle da questo indirizzo, ma attenti al tempo perché, anche se compresso, è lungo 1/2 milione di byte.

Altrimenti potete sempre scaricare il programma che le calcola. Io ho usato il programma QuickPi di Steve Pagliarulo che può produrre fino a 256 milioni di cifre, ma attenzione, con un processore AMD Athlon 700, per calcolarne 10 milioni ha impiegato 20 minuti circa, e il tempo cresce più rapidamente delle cifre prodotte.

Un altro programma, più simpatico da usare perché opera sotto Windows, ma più lento (a quanto altri dicono di circa 10 volte) è SuperPi di Yasumasa KANADA, uno studioso giapponese che ha calcolato π con 68 miliardi di cifre (ma non con un PC). Tutti e due i programmi, compressi in formato zip, sono lunghi 74 kbyte.

Esiste un modo abbastanza semplice da comprendere e anche da applicare per stimare quale sia il valore numerico del nostro numero. Consideriamo una circonferenza di raggio uno (un centimetro, un metro, un chilometro, non ha importanza); essa avrà un'area pari a π. Se ci limitiamo a prendere un quarto di questa circonferenza, essa avrà un'area di π/4. Consideriamola inscritta in un quadrato di lato uno ed area uno. I punti all'interno del quadrato avranno coordinate x ed y comprese tra 0 ed 1; di questi punti, quelli che distano meno di 1 dal centro, quelli per i quali cioè x2+y2 è minore di 1, staranno anche dentro al quarto di circonferenza. Se noi disegnamo punti a caso all'interno del quadrato, il rapporto tra il numero di punti che appartengono al quarto di circonferenza e quelli che appartengono al quadrato tende ad essere uguale al rapporto delle due aree e cioè π/4.

Il problema, quindi, è quello di disegnare i punti a caso; abbiamo due modi per farlo: uno manuale che consiste nel comperare un dado a forma di icosaedro con le venti facce numerate due volte da 1 a 10 (nel nostro caso 10 vale 0); se fissiamo un limite al numero di cifre decimali che ci interessano, ad esempio 3, lanciando tre volte il dado potremo ottenere una coordinata x del tipo 0,... seguita dalla tre cifre prodotte dai lanci del dado; analogamente potremo ottenere la coordinata y del primo punto e verificare se cade all'interno del quarto di circonferenza o meno. Con lo stesso metodo contnueremo a produrre punti; il rapporto tra i punti caduti all'interno e il numero di punti generati sarà una stima di π.

Naturalmente questo metodo richiede molto tempo per generare un numero adeguato di punti. I linguaggi di programmazione, però sono in grado di generare sequenze praticamente casuali di numeri compresi tra 0 ed 1 ed in questo modo potremo aumentare notevolmente l'efficienza della nostra ricerca.

Grafico di un quarto di circonferenza inscritto in un quadrato con all'interno 400 punti generati a caso.

Nell'esempio appena calcolato abbiamo generato 400 punti a caso; in questa occasione, di essi 316 sono caduti all'interno del quarto di circonferenza e, pertanto, la stima del valore di π è 3.16 (con una stima dell'errore di ±0.18). Poiché non c'è trucco e non c'è inganno ogni volta che la pagina viene ricaricata viene ricalcolato in maniera dinamica un valore nuovo e, in generale, sarà ogni volta diverso il valore di π ottenuto.

400 punti non sono poi tanti. Se prendiamo un foglio elettronico e scriviamo nelle caselle A1 e B1 la formula =casuale(), nella casella c1 la formula =se((a1^2+b1^2)<=1;1;0) e ricopiamo queste tre caselle fino alla riga 10000 otterremo 10.000 coppie di punti e se nella casella D1 scriveremo la forumula =somma(c1:c10000)/10000 *4 visualizzeremo il valore di π ottenuto.

Questo metodo, naturalmente, non ci offre un valore esatto di π, ma una sua stima, che al crescere delle prove e se il sistema di generazione dei numeri casuali è un buon sistema, si avvicinerà sempre più al valore vero.

La figura qui sotto mostra un esperimento con 10 milioni di lanci. La linea rossa indica il valore stimato di π a mano a mano che si generano nuovi punti casuali; le due linee blu indicano l'intervallo entro cui ci si aspetta che cada il valore vero di π; questo intervallo, al crescere del numero di lanci, si restringe sempre più. L'avvicinamento è abbastanza lento ed osservando la figura qui sotto (l'asse x è in scala logaritmica) si tenga presente che, con dieci milioni di lanci, si sono ottenute solo tre cifre decimali esatte.

grafico della convergenza a pigreco col metodo Montecarlo

Questo metodo di calcolo di π fa parte della famiglia dei metodi Montecarlo che utilizzano, per la soluzione dei problemi, la generazione di numeri casuali (o pseudocasuali). Esistono anche formule che attraverso la somma o il prodotto di infiniti termini, a loro volta facili da calcolare, consentono di calcolare il numero con approssimazioni via via crescenti. La formula più semplice, anche se non molto adatta a scopi pratici, è dovuta a Leibnitz.

$$\itπ\it=4 · ({1-1/3+1/5-1/7+1/9}...)$$

È una formula molto elegante nella sua semplicità ma che ha il difetto di convergere molto lentamente e dopo 50 termini ci garantisce che il valore di π è compreso tra 3,12 e 3,16. inoltre, se vogliamo avere molte cifre decimali esatte, tutti i reciproci devono essere calcolati con moltissime cifre decimali; anche se questo oggi non è un problema, occorre comunque molto tempo per effettuare i calcoli se vogliamo avere una precisione elevata.

Sul libro di Jean Paul Delahaye citato sopra, a pagina 95 è riportato il sorgente di un programma in linguaggio C che calcola 2400 cifre di π. Eccolo

int a=10000,b,c=8400,d,e,f[8401],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5;for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);}

Per rendere il programma compatto al massimo, chi lo ha scritto ha sfruttato in maniera esasperata la grande capacità di sintesi del linguaggio C ed ha accettato anche che un compilatore moderno si lamenti per la mancata predefinizione della funzione printf.

Un poco più leggibile è la versione in Free Pascal, anche se si sono introdotti alcuni tecnicismi per far scrivere gli zeri iniziali di un gruppo di cifre.

program pigreco;
uses sysutils;
var a,b,c,d,e,g: longint;
    f: array [0..8401] of longint;
    i,l:integer;
    s:string;

begin
  a:=10000;
  b:=0;
  c:=8400;
  e:=0;
  while (b<>c) do
  begin
    f[b]:=a div 5;
    inc(b);
  end;
  while (c>0) do
  begin
    g:=c*2;
    d:=0;
    b:=c;
    while (b>0) do
    begin
      d:=d + f[b]*a;
      g:=g-1;
      f[b]:= d mod g;
      d:=d div g;
      g:=g-1;
      b:=b-1;
      if (b<>0) then d:=d*b;
    end;
    c:=c-14;
    s:=IntToStr(e + d div a);
    l:=length(s);
    write (leftstr('00000',4-l));
    write (rightstr(s,l));
    e:= d mod a;
  end;
end.

Certo il programma in Pascal è più leggibile di quello in C, ma non chiedetemi niente sull'agotritmo usato. La sua spiegazione ... viene lasciata come esercizio al lettore (quante volte ho trovato questa frase infame nei libri di matematica...).

Giochiamo con π

Intanto ricordiamoci che, come c'è la festa della mamma e quella del papà, c'è anche quella del π. Partendo dal fatto che nei paesi anglosassoni le date si scrivono mettendo prima il mese e poi il giorno, il 14 marzo, 3.14, è il cosiddetto pi day, il giorno del pigreco. Se cercate con google 'pi day' troverete i ricordi di molte feste fatte nel mondo e, naturalmente, tante torte.

Passiamo ora a qualcosa di più interattivo. È abbastanza evidente che se voi pensate ad un numero intero e poi andate a cercarlo nei decimali di π, prima o dopo, essendo le cifre infinite, non periodiche, e con le caratteristiche che sono richieste alle sequenze di numeri pseudocasuali, il numero ci dovrebbe stare. E allora...

È dimostrato scientificamente occhiolino che se la vostra data di nascita (scritta come GMA o anche AMG, con l'anno di al massimo 2 cifre) si trova nei primi 10 milioni di cifre di π siete un genio, forse incompreso, della matematica

Se poi la vostra data non si trova, siete geni della matematica comunque, basta volerlo.(1)


Immetti la data (per avere la massima probabilità di trovarla, una data del tipo 7 maggio 1978 andrebbe scritta 7578 piuttosto che 070578)

Se volete, potete provare a vedere se c'è una breve parola che cercate; il programma assegnerà ad ogni lettera (non accentata per favore) un numero corrispondente alla posizione in ordine alfabetico. Troverete PACE, e non GUERRA, AMO ma anche ODIO; dei nomi propri trovate ANNA, ALE, EMY, e così via.


Non provate con parole lunghe, perchè aumenta la probabilità di non trovarle.



(1)Da alcuni commenti a questa pagina che ho trovato sul web ho avuto la sensazione che non tutti i lettori abbiano accettato il fatto che si tratta di un passatempo messo per alleviare la monotonia. Per questo motivo ho sostituito la sequenza dei caratteri ;-) dell'occhiolino con un'immagine più esplicita presa a prestito dalla raccolta del forum phpBB. Resta la mia convinzione che se certamente esistono persone che per qualità probabilmente innate, ma senza dubbio poi coltivate, possiamo classificare tra i "geni della matematica", chiunque, con un po' di applicazione e fatica, può raggiungere delle abilità matematiche che agli occhi dei più potrebbero farlo passare per un genio. Insomma, credo che nessuno sia, per diritto di nascita, negato per la matematica.


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