Considerazioni generali
La calcolatrice lavora con un numero arbitrario (beh non proprio arbitrario, ma molto grande) di cifre. Lavora sempre in virgola fissa e le cifre decimali, però, non possono essere, di norma, più di 500; queste limitazioni derivano dalla necessità di non impegnare per troppo tempo l'unità del server che ospita la pagina e che ha un tempo limite per eseguire i calcoli richiesti. L'eventuale raggiungimento, da parte di un'operazione, di questo tempo limite comporta la perdita di tutti i contenuti delle celle di memoria.È in grado di interpretare semplici espressioni algebriche; per farlo usa la classe php, reperibile sul web, EvalMath (Copyright (C) 2005 Miles Kaufmann www.twmagic.com) modificata in molte sue parti per le necessità di questa pagina. Il maggior impegno richiesto per il calcolo delle espressioni algebriche ha indotto a ridurre a 500 il numero massimo di cifre decimali. Se proprio dovessero occorrerne di più bisognerà far ricorso alla versione base della calcolatrice.
Non è ammessa mai la notazione esponenziale del tipo 3.5E8; volendo introdurre numeri con la notazione esponenziale è necessario scrivere un elevamento a potenza esplicito; quello che su un foglio elettronico è 3.5E8 qui si dovrà scrivere 3.5*10^8. I risultati saranno sempre scritti per esteso e mai in notazione esponenziale.
Le lettere presenti nelle espressioni sia nei nomi di variabili che di funzioni, sono tutte convertite in minuscolo. Se a=5, anche A=5.
Decimali
I decimali vanno impostati prima di eseguire i calcoli. Eventuali risultati memorizzati precedentemente con un diverso numero di decimali, conserveranno il numero impostato al momento del calcolo. Inizialmente il numero e ed il numero π vengono proposti con 10 cifre decimali. Variando il numero di decimali, saranno proposti sempre col nuovo numero di cifre decimali, ma eventuali calcoli già eseguiti usando i valori di e e π con un numero diverso di cifre decimali non saranno modificati.Si tenga presente che se i decimali sono impostati, ad esempio, a 0 e si fa eseguire il calcolo 0.1 + 0.1 il risultato che si otterrà sarà 0. Lo stesso vale se si farà eseguire 0.13 con l'operazione x^y. Bisogna impostare il numero di decimali corretto prima di eseguire l'operazione.
Non è possibile ottenere più di 500 cifre decimali.
Si ricorda che il separatore dei decimali è il punto e non la virgola. È sbagliato scrivere 3,14; è corretto invece 3.14
Espressione
L'espressione da calcolare è scritta con la sintassi comune a molti linguaggi di programmazione. Se al suo interno ci sono spazi bianchi essi vengono eliminati prima di iniziare il calcolo; in questo modo è possibile scrivere i numeri usando lo spazio come separatore delle migliaia.Nella scrittura delle espressioni si possono usare:
| . | Separa la parte intera dalla decimale del numero: è corretto scrivere 1.4142 e sbagliato 1,4142. | |||||||||
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| , | Separa gli argomenti di una funzione, se ne ha più di uno. Per maggiori informazioni si veda il paragrafo Funzioni. | |||||||||
| + | Esegue l'addizione tra due numeri. | |||||||||
| - | Esegue la sottrazione o cambia il segno di un'espressione.
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| * × | Esegue una moltiplicazione; di regola non sono ammesse moltiplicazioni implicite, quindi ab non indica a*b ma una variabile di nome 'ab'. Sono ammesse moltiplicazioni implicite solo nel caso di una chiusa parentesi seguita da una parentesi aperta o nel caso di un numero seguito da una lettera già definita come espressione. Quindi $(3+5)(3+2)$ darà come risultato 40 e $$ a=5ˆ2$$ $$b=5a $$ darà come risultato b=125, ma a5 o ab daranno messaggi di errore o risultati sbagliati. Per questo, come norma generale, si sconsiglia di usare la moltiplicazione implicita ma di indicarla sempre con un *.
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| / : ÷ | Esegue una divisione.
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| ^ | Esegue un elevamento a potenza. Se l'esponente è intero e al sistema il calcolo sembra fattibile in termini di tempo di esecuzione, l'innalzamento a potenza viene eseguito come una serie di moltiplicazioni; in ogni altro caso (esponente frazionario o troppo grande), la potenza ab viene eseguita come eb*ln(a) che ha a sua volta altre limitazioni esposte ai paragrafi dell'esponenziale e del logaritmo. Numeri negativi con esponenti non interi non possono venir calcolati. Questa limitazione si applica anche a numeri negativi con esponente intero se il calcolo con moltiplicazioni successive viene ritenuto troppo dispendioso in termini di tempo. Per maggiori informazioni al riguardo si veda il paragrafo limiti.
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| # r_ | I simboli # ed r_ sono sinonimi e conservano il valore del calcolo appena eseguito; quindi non possono essere usati a destra dell'uguale nella prima espressione digitata. Il simbolo # rappresenta in maniera più sintetica la variabile di sistema r_ (che sta per risposta) e che viene sostituita al simbolo nelle espressioni. L'uso improprio del simbolo # può comportare la comparsa del messaggio "variabile indefinita r_ in quanto, come detto, # ed r_ sono sinonimi. Il loro uso è molto comodo per ripescare il risultato dell'espressione precedente ed usarlo in una successiva senza dover definire nuove variabili. Si presti attenzione al fatto che la ripetizione di una formula col simbolo # o la variabile r_ darà probabilmente risultati via via differenti. Per esempio se calcoliamo l'espressione 10/10 avremo come riultato 1; la scrittura ripetuta #+1 darà come risultato la successione 2,3,4... | |||||||||
| (...) | Coppie di parentesi rotonde per modificare la precedenza delle operazioni. Le coppie di parentesi rotonde possono essere nidificate come, ad esempio, (5+sqrt(5^2-4*6))/(2*1). Ad ogni parentesi rotonda aperta ne deve corrispondere una chiusa. In generale si consiglia di abbondare con le coppie di parentesi quando si è in prsenza di espressioni che potrebbero prestarsi ad ambiguità (vedi la nota all'elevamento a potenza ^).
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| sqrt(...) radq(...) | La scrittura sqrt(...) o, in italiano, radq(...) calcola la radice quadrata di quanto contenuto tra le parentesi, che deve esere maggiore o uguale a zero. L'uso delle due forme, radq e sqrt, è intercambiabile e può essere anche mescolato. radq(sqrt(16)) o radq(radq(16)) o sqrt(sqrt(16)) farà sempre 2. | |||||||||
| fact(...) fatt(...) | La scrittura fact(...) o, in italiano, fatt(...) corrisponde alla scrittura tradizionale $n!$, il fattoriale, vale a dire il prodotto di tutti i numeri interi positivi minori o uguali dell'argomento della funzione. Come per radq e sqrt l'uso delle due forme è intercambiabile. Con questa funzione è facile costruire altre funzioni del calcolo combinatorio:
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| ln(...) log(...) | A scanso di equivoci la prima lettera è una elle minuscola e non una i maiuscola. Calcola il logaritmo naturale. Se si desidera calcolare il logaritmo in base 10, basterà definire, ad esempio, la funzione log10(lx)=ln(lx)/ln(10). Dovendo calcolare molti di questi logaritmi, si consiglia di creare una costante ln10=1/ln(10) e riscrivere la funzione log10(lx)=ln(lx)*ln10; ciò dovrebbe risparmiare tempi di calcolo. Come per radq e sqrt l'uso delle due forme è intercambiabile. | |||||||||
| exp(...) | Calcola l'esponenziale dell'argomento. In realtà ci sono due modi per calcolare ex, exp(x) o e^x. Gli algoritmi usati nel calcolo sono diversi per cui ci potrebbero essere leggere differenze dovute ad errori di troncamento dei calcoli. exp(x) dovrebbe essere leggermente più veloce di ex. exp(x) accetta argomenti compresi tra -1000 e 500. | |||||||||
| Nelle espresioni, inoltre, si possono usare i simboli usati precedentemente in assegnazioni o funzioni. Sia le assegnazioni che le funzioni sono spiegate più avanti. | ||||||||||
Assegnazioni
Un'assegnazione è una scrittura composta da una stringa alfanumerica di almeno un carattere, che deve iniziare sempre con un carattere alfabetico e può contenere al suo interno il carattere speciale '_'. La stringa deve esssere seguita dal carattere = ed un'espressione. L'espressione sarà calcolata ed il risultato verrà mostrato subito sotto e memorizzato anche col nome della stringa scritta a sinistra dell'uguale. Usando questa stringa in espressioni successive, essa sarà sostituita dal valore calcolato. Sono esempi di simboli corretti a=, abc=, aCb=, x1=, a_3, .... Sono scorretti 1x2, a\3, b%, .... La differenza tra lettere maiuscole e minuscole viene ignorata. Esempio di assegnazione: l'espressione $$x__1=(-5+√(5^2-4*6))/2$$ si può scrivere x1=(-5+radq(5^2-4*6))/2. Una volta calcolata, se in un'altra espressione useremo il simbolo X1 esso sarà sostituito dal numero -2, risultato del calcolo precedente.In mancanza di un'assegnazione il risultato verrà assegnato alla variabile speciale # (vedi più sopra).
- ATTENZIONE
- La modifica successiva dei decimali non modifica i decimali con cui è stata calcolata l'espressione. Se calcoliamo b=3/7 con 0 decimali otterremo 0 ed alla lettera b continuerà a corrispondere il risultato 0, anche se poi si cambiano i decimali in 10. Per ottenere 10 decimali bisogna ricalcolare b=3/7 dopo aver cambiato il numero di decimali.
- ATTENZIONE
- Non si possono assegnare espressioni alla lettera e, alla parola pi ed al simbolo r_ in quanto sono già impegnati per memorizzare il numero di Nepero, il π ed il risultato dell'ultima esecuzione.
Funzioni
La definizione di una funzione consiste nello scrivere un'assegnazione con l'elemento a sinistra dell'uguale del tipo f(x,y,z, ...) ed a destra dell'uguale un'espressione con al suo interno le variabili indicate tra parentesi che assumeranno un valore specifico solo al momento del loro utilizzo. Per esempio se una funzione sarà definita come f(x,y)=x^2+y^2 e in un'altra espressione si scriverà ipotenusa=sqrt(f(3,4)) si otterrà il risultato 5.- ATTENZIONE
- Se nel definire gli argomenti di una funzione si usano dei simboli usati anche in qualche assegnazione, la funzione userà nel calcolo questi ultimi, quindi si deve prestare una certa attenzione nel dare un nome ai parametri della funzione stessa in modo che siano unici. Si consiglia, ad esempio, per un'ipotetica funzione f di denominare i parametri cone fa, fb, ....
- ATTENZIONE
- Nelle funzioni viene ignorata la differenza tra maiuscole e minuscole, per cui LOG, Log, log sono al stessa funzione, tuttavia nell'elenco delle funzioni definite esse sono mostrate tutte con lettere minuscole; pertanto si consiglia di usare sempre le lettere minuscole.
- ATTENZIONE
- lo stesso simbolo può essere usato come nome di una funzione e come variabile, ma se ne sconsiglia l'uso per una questione di leggibilità.
Costanti predefinite
La calcolatrice ha, al momento, due costanti predefinite mediante simboli letterali che vengono sempre mostrate sulla pagina. I decimali con cui sono definite variano in base al numero di decimali impostati per i calcoli. Il cambio del numero non fa automaticamente cambiare il valore delle costanti mostrate, che verranno modificati ed usati correttamente solo nelle operazioni successive.| e | È la costante di Nepero, usata per il calcolo degli esponenziali e dei logaritmi |
|---|---|
| pi | È il valore di pi greco; può essere sostituito anche dal simbolo π, ma se ne sconsiglia fortemente l'uso. |
Il risultato
Viene mostrato, sotto la voce "Risp", risposta, il risultato dell'ultima espressione calcolata. Esso viene spezzato su più righe; la parte intera è divisa a gruppi di tre cifre separate da uno spazio, la parte decimale a gruppi di cinque cifre separate da uno spazio. Se il risultato è lungo, la parte decimale inizia su una nuova riga. Si ritiene che questo sia un buon modo per facilitare la lettura di numeri lunghi.- ATTENZIONE:
- Il risultato rimane vuoto o mostra il risultato dell'operazione precedente se si è appena definita una funzione o se si sono commessi errori nella formulazione dell'espressione (ad esempio calcolo della radice di un numero negativo, parentesi sbilanciate, simboli non previsti, ...).
Sotto al risultato si vedrà l'elenco di tutte le assegnazioni già fatte e calcolate. Prima compariranno i valori associati ad alcuni simboli; come già scritto, due sono già fissati con un numero di decimali pari al numero di decimali impostati più 10:
- e è la costante di Nepero, base fondamentale dei logaritmi e degli esponenziali
- pi è il numero π, rapporto tra la circonferenza ed il diametro.
L'ordine con cui compaiono le assegnazioni è quello storico. La prima in testa, e via via le altre. Essendo 'e' e 'pi' definite già in partenza, esse sono sempre le prime dell'elenco.
Pulsante calcola
Il pulsante calcola avvia il calcolo dell'espressione.Limiti di calcolo
Il maggior limite è quello del tempo impiegato che non può superare il secondo, anzi 1.000.000.000 nanosecondi.Per evitare di incorrere in questo limite i decimali usabili nel calcolo non possono essere più di 500, ma davanti a calcoli complessi è meglio tenersi al di sotto.
Espressioni che comportano il calcolo di esponenziali o logaritmi (le due funzioni, ma anche certi calcoli di potenze) non possono avere più di 250 decimali. Se il numero di decimali+1 moltiplicato per l'esponente è maggiore di 500 la potenza viene calcolate con logaritmi ed esponenziali e quindi incorre nei limiti di queste funzioni.
Per il fattoriale, l'unico limite è il tempo di esecuzione dei calcoli.
Esempi
Soluzione di un'equazione di secondo grado
Possiamo iniziare definendo una funzione per il discriminante scrivendo
| disc(da,db,dc)=db*db-4*da*dc |
Poi si scrivono le formule per le due soluzioni:
| x1(xa,xb,xc)=(-xb+sqrt(disc(xa,xb,xc)))/(2*xa) |
| x2(xa,xb,xc)=(-xb-sqrt(disc(xa,xb,xc)))/(2*xa) |
A questo punto se vogliamo calcolare la soluzione dell'equazione x2+5x+6=0 basterà scrivere
x1(1,5,6) ed otterremo il valore -2. x2(1,5,6) ed otterremo il valore -3. Se cercheremo la soluzione dell'equazione x2+5x+22=0 il sistema ci informerà che stiamo calcolando la radice di un numero negativo, cosa che non è possibile.
In questo esempio non ha importanza, ma in generale, essendoci delle radici quadrate, sarà opportuno definire prima un numero adeguato di decimali.
Uso del risultato precedente
Supponiamo di voler calcolare la sequenza delle potenze di 7. Il modo più semplice può essere calcolando intanto 72
| 7^2 |
che fa 49. Poi scriveremo
| #*7 |
Otterremo 343, 73. Se premiamo a ripetizione il pulsante "Calcola" otterremo ogni volta la potenza successiva di 7.
Rata annua posticipata
Supponiamo di voler calcolare l'importo di una rata annua per ammortare un debito di c euro in n anni al tasso r. Impostiamo il numero di decimali a 5 o più per evitare troppi errori di troncamento. Poi scriveremo
| rata(c,n,r)=c*r/100/(1-(1+r/100)^(-n)) |
Per calcolare la rata per ammortare 22.000 euro in 10 anni al tasso del 7.5% basterà scrivere
| rata(22000,10,7.5) |
e troveremo come risultato 3 205.09040 che troncato ai centesimi darà una rata di 3205.09 euro.
Formula di Stirling e fattoriale
Il fattoriale di un numero intero, che si scrive n!, è dato dal prodotto di tutti i numeri interi positivi ≤ n. Basta salire di poco ed i numeri diventano enormi e le normali calcolatrici non sono in grado di calcolare nemmeno 70! e comunque sempre in maniera approssimata. Esiste una formula che consente di calcolare, se n è molto grande, il valore del fattoriale con una certa approssimazione; è la cosiddetta formula di Stirling$n! ∽ √{2πn}·(n/e)^n $ se $n→+∞$
che possiamo scrivere usando ns al posto di n per le considerazioni fatte quando si sono presentate le funzioni| stirl(sn)=sqrt(2*pi*ns)*(ns/e)^ns |
Siamo curiosi di verificare la differenza tra il fattoriale di 100, quello vero, e l'equivalente calcolato con la formula approssimata di Stirling; riportata sopra. Scriveremo, se non vogliamo definire la funzione,
| (sqrt(2*pi*100)*(100/e)^100-fatt(100))/fatt(100)*100 |
o, se abbiamo definito la funzione stirl(ns) di cui sopra
| (stirl(100)-fatt(100))/fatt(100)*100 |
e troveremo che la formula di Stirling sottostima (risultato negativo) il fattoriale di 100 dello -0.08329... % risultato abbastanza confortevole visto che 100! è un numero di 158 cifre; se lo volete conoscere in tutta la sua imponenza, basta scrivere fatt(100) e troverete
93 326 215 443 944 152 681 699 238 856 266 700 490 715 968 264 381 621 468 592 963 895 217 599 993 229 915 608 941 463 976 156 518 286 253 697 920 827 223 758 251 185 210 916 864 000 000 000 000 000 000 000 000.
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